Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler Homogéneas

Las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler son de la forma:

El exponente de las x tiene que ser del mismo oren que la derivada de la y que acompaña.

Pueden ser homogéneas y NO homogéneas.

En la ecuaciones diferenciales de Cauchy Euler, la solución de la ecuación homogénea asociada es de la forma:

solucion de una ecuacion diferencial de Cauchy Euler

Para encontrar el valor de la r, sustituiremos la solución en la ecuación diferencial. Nos podemos encontrar con 3 casos:

casos de soluciones de ecuciones diferenciales de Cauchy Euler

Os dejo un vídeo con un ejercicio resuelto de cada caso:

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler soluciones reales simples

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler soluciones reales múltiples

ejercicio resuelto de ecuacion diferencial de Cauchy Euler soluciones reales múltiples

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler raices complejas

ecuacion diferencial de Cauchy Euler raices complejas

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler por Reducción de Orden

El método de reducción de orden lo podemos aplicar cuando ya conocemos una solución y queremos encontrar la segunda. Consiste en suponer que la segunda solución es la misma que la primera, pero en vez de estar multiplicada por una constante, está multiplicada por una función de x que llamamos u.

segunda solucion en cauchy Euler por reducción de orden

Con este método veremos por aparecen logaritmos cuando la solución es múltiple (está repetida).

Os dejo un vídeo con un ejercicio resuelto, volveremos a hacer el Caso 2 donde teníamos una solución real repetida:

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler por Reducción de Orden

ejercicio resuelto de ecuacion diferencial de Cauchy Euler por reducción de orden

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler NO Homogéneas

Para resolver una ecuación diferencial de Cauchy Euler NO homogéneas tenemos varios métodos.

Método de Variación de los Parámetros o Variación de las Constantes

El método de variación de los parámetros o variación de las constantes es el método general, sirve para encontrar la solución particular para cualquier forma de la función que sólo depende de x en ecuación diferencial (b(x)). Lo podemos usar en las de coeficientes constantes y también en Cauchy Euler.

La solución general de una ecuación diferencial NO homogénea, es la solución de la ecuación homogénea asociada, mas una solución particular.

solucion general de una ecuacion diferencial no homogénea

El método de variación de las constantes o parámetros, sirve para encontrar la solución particular y es el método general, porque sirve para cualquier forma de la función que sólo depende de x (b(x)).

ALERTA: Para aplicar el método de variación de las constantes o parámetros, la y de mayor derivada tiene que estar multiplicada por 1. Tendremos que dividir toda la ecuación diferencial.

Consiste en suponer que la solución particular es la misma que la solución de la homogénea, pero las soluciones en vez de estar multiplicadas por constantes, estarán multiplicadas por funciones de x (que llamaremos u).

solucion particular por el metodo de variacion de los parametros

Para encontrar esas funciones tenemos montar un sistema de ecuaciones, con las soluciones de la homogéneas y las us derivadas:

sistema de ecuaciones metodo de variacion de parametros

Para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar la us derivadas podemos aplicar el método de Cramer, pero no es obligatorio, se puede resolver despejando las us.

Si lo resolvemos por Cramer: