CONVERGENCIA DE INTEGRALES:
Plano tangente de una función paralelo a otro plano:
Ejercicios resueltos enviados por alumnos
Autor: profeindahouse
Convolución
En el siguiente vídeo veremos como hacer la integral de convolución con el método gráfico desde cero. Calcularemos el producto de convolución de dos funciones sumando áreas, sin calcular la integral.
Para calcular la convolución mediante la gráfica tendremos que dibujar las dos funciones, pero la segunda función habrá que modificarla antes (reflexión + desplazamiento).
Convolución por el método grafico desde cero: ver Video
Haremos dos ejercicios resueltos. En el primero calcularemos la integral de convolución de una rampa por un pulso rectangular en 3 instantes de tiempo:
En el segundo ejercicio calcularemos la convolución gráficamente para cualquier tiempo.
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Serie Compleja de Fourier
Veremos varios vídeos de como calcular la serie compleja de Fourier y de como calcular los coeficientes de la serie trigonométrica (an, bn) a partir del coeficiente de la serie compleja Cn .
Ejercicio resuelto de Serie de Fourier Compleja: ver Video
Calcularemos la serie de Fourier Compleja, mediante las fórmulas:
Tendremos seleccionar bien el periodo y los intervalos de integración. Mirar si hace falta calcular Co aparte y simplificar.
Haremos el ejemplo:
Calcula la Serie de Fourier Compleja Extendida Periódicamente: ver Video
En el vídeo haremos otro ejercicio resuelto de serie de Fourier Compleja:
(Bloque en proceso)
Series y Transformada de Fourier
Aquí encontrareis videos con ejercicios resueltos de Serie Compleja de Fourier y Transformada de Fourier.
Serie de Fourier Compleja:
Encontrareis ejercicios resueltos calculando serie de Fourier compleja y encontrar los coeficientes de la serie trigonométrica a apartir de la serie compleja.
Transformada de Fourier:
Encontrareis ejercicios resueltos de transformadas de Fourier con la definición y mediante propiedades.
Convolución:
Encontrareis ejercicios resueltos de como clacular la convolución de dos funciones mediante la gráfica, sin calcular la integral de convolución.
Transformada de Fourier
Aquí encontrareis vídeos con ejercicios resueltos de transformadas de Fourier y aplicación de las propiedades de la transformada de Fourier.
Aquí tenéis un documento pdf con las transformadas de Fourier y propiedades más habituales, que os podeis descargar:
Transformada de Fourier por la definición (Número e): ver Video
Haremos la transformada de Fourier usando la definición, con la integral. Como tenemos un valor absoluto, separaremos la función en dos con una función definida a trozos. Además al final del video, veremos como es la transformada de Fourier de una función real de simetría par.
Haremos el siguiente ejemplo:
Transformada de Fourier de un pulso rectangular por la definición : ver Video
Haremos la transformada de Fourier de un pulso rectangular usando la definición, con la integral. Como tenemos una función definida a trozos, tendremos que separar la integral. Además tendremos que simplificar el resultado usando las fórmulas de Euler del coseno y el seno.
Haremos el siguiente ejemplo:
Transformada de Fourier mediante Propiedades
Transformada de Fourier propiedades traslación en el tiempo: ver Video
Haremos la transformada de Fourier de un pulso rectangular desplazado en el tiempo mediante la propiedad de traslación en el tiempo.
Haremos el siguiente ejercicio resuelto:
y utilizaremos la propiedad de traslación en el tiempo:
Ejercicio resuelto de transformada de Fourier propiedad modulación: ver Video
Haremos un ejercicio resuelto de transformada de Fourier mediante la propiedad de modulación. Es decir cuando tengamos una función multiplicada por un coseno, podremos usar esta propiedad de la transformada de Fourier.
Haremos el siguiente ejercicio. Se trata de un pulso rectangular por un coseno:
usaremos la propiedad de modulación:
propiedades de la transformada de fourier ejercicios resueltos dualidad: ver Video
Haremos un ejercicio resuelto de transformada de Fourier mediante la propiedad de dualidad o simetría. Cuando tengamos una función en t que se parezca a una transformada, utilizaremos esta propiedad.
Haremos el siguiente ejemplo:
utilizaremos la propiedad de dualidad o simetría:
transformada de Fourier usando la propiedad de la derivada: ver Video
Haremos un ejemplo de transformada de Fourier mediante la propiedad de derivación en el tiempo, es decir mediante la derivada. Utilizaremos esta propiedad cuando hacer la transformada de Fourier de la derivada, sea más fácil que hacer la transformada de la propia función. También cuando nos pidan hacer la transformada a partir de la gráfica de la función.
Haremos el siguiente ejemplo:
Transformada de Fourier usando las propiedades de la Segunda Derivada: ver Video
Haremos otro ejemplo de transformada de Fourier mediante la propiedad de derivación en el tiempo, pero usaremos el de la segunda derivada. Al derivar nos aparecerán impulsos.
Haremos el siguiente ejercicio:
Utilizaremos la propiedad de la primera derivada y de la segunda derivada:
Transformada de Fourier Propiedades Derivación en Frecuencia Cambio Escala: ver Video
Haremos otro ejemplo de transformada de Fourier y tendremos que utilizar dos propiedades: la propiedad de derivación en frecuencia i la propiedad de cambio de escala.
Haremos el siguiente ejercicio:
utilizaremos las propiedades de derivación en frecuencia y cambio descala:
(Tema en proceso)
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Teorema de la Función Implícita Varias variables
Haremos dos ejercicios resueltos de como se aplica el Teorema de la Función Implícita para:
- una función de varias variables
- sistemas de ecuaciones o función vectorial
El Teorema de la Función Implícita para varias variables nos dice:
Haremos el siguiente ejemplo donde aplicaremos el teorema de función implícita y encontraremos la derivada de la variable definida implícitamente (la z).
Teorema de la función Implícita Varias Variables ver video
El Teorema de la Función Implícita si tenemos un sistema de ecuaciones o una función vectorial, nos dice:
Haremos el siguiente ejemplo y encontraremos las derivadas parciales con 3 métodos: con la fórmula, derivando implícitamente y con la regla de la cadena:
Teorema de la función Implícita para un Sistema de Ecuaciones ver video
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Maximos y Mínimos varias variables
Máximos relativos, mínimos relativos y Puntos de Silla
Buscaremos:
- máximos relativos, mínimos relativos y puntos de silla de 2 variables
- máximos relativos, mínimos relativos y puntos de silla de 3 variables
- máximos y mínimos restringidos en un entorno = máximos y mínimos absolutos de varias variables con 2 métodos:
- Método de los Multiplicadores de Lagrange
- Directamente trabajando sobre la región
Máximos relativos, mínimos relativos y Puntos de Silla (desde cero) ver Video
Para encontrar los puntos críticos (es decir máximos y mínimos relativos y puntos de silla) podemos seguir el siguiente esquema (2 variables):
En el video veremos el siguiente ejemplo:
Máximos relativos, mínimos relativos y Puntos de Silla de 3 Variables ver Video
Para encontrar los puntos críticos de una función de 3 variables, podemos seguir el siguiente esquema:
En el vídeo haremos el siguiente ejemplo:
Extremos absolutos condicionados a una restricción:
Si nos dan una función restringida dentro de un entorno, además de calcular los máximos, mínimos relativos y puntos de silla de dentro del recinto, también tendremos que encontrar los máximos y mínimos sobre la restricción. Podemos hacerlo de 2 maneras: con los Multiplicadores de Lagrange o directamente sobre la restricción.
Multiplicadores de Lagrange
Máximos y Mínimos restringidos por Multiplicadores de Lagrange: ver Video
Haremos el siguiente ejercicio resuelto, mediante el método de los Multiplicadores de Lagrange:
Extremos Absolutos de una función de dos variables (Extremos Condicionados) ver Video
Haremos el siguiente ejercicio resuelto:
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Números Complejos
Aquí encontrareis vídeos con ejercicios resueltos con números complejos.
Qué son los Números Complejos: ver Video
Veremos que es la unidad imaginaria, qué es el conjugado de un número complejo, que es la forma binómica, la forma polar y la forma exponencial, y como representar gráficamenteun número complejo.
Suma y Resta de Números Complejos en forma binómica: ver Video
Veremos que es la unidad imaginaria, qué es el conjugado de un número complejo, que es la forma binómica, la forma polar y la forma exponencial, y como representar gráficamente un número complejo.
haremos los siguientes ejemplos:
El último ejemplo nos servirá para saber como escribir correctamente la solución.
Multiplicación de Números Complejos en forma binómica: ver Video
Para hacer el producto de números complejos en forma binómica, tendremos que multiplicar todos los términos como cuando multiplicamos polinomios.
Haremos el siguientes ejemplo:
y multiplicaremos un número por su conjugado, porque al dividir números complejos lo tendremos que hacer:
Dividir Números Complejos en forma binómica: ver Video
Para dividir números complejos en forma binómica, tendremos que multiplicar por el conjugado del denominador.
Haremos el siguientes ejemplo:
Como calcular potencias de i: ver Video
Calcularemos fácilmente potencias i, es decir i elevado a un número grande. Sólo tendremos que conocer las cuatro primeras potencias de i.
Haremos el siguientes ejemplo i calcularemos también potencias negativas de i:
Como pasar de forma binómica a forma exponencial: ver Video
Pasaremos números complejos de forma binómica a forma exponencial. Para pasar de binómica a exponencial necesitamos calcular el módulo y el argumento (o ángulo) del número complejo. Haremos varios ejercicios resueltos, en algunos podremos encontrar el ángulo si hacer cálculos.
Pasaremos de binómica a exponencial los siguientes números. En los ejemplos pasaremos un número real a exponencial y un número con sólo parte imaginaria:
Como pasar de forma exponencial a forma binómica: ver Video
Pasaremos números complejos de forma exponencial a forma binómica. Para pasar de exponencial a binómica o algebraica, necesitamos calcular el coseno y seno del ángulo del número complejo.
Haremos 4 ejercicios resueltos.
Más videos en los próximos días.
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Convergencia Divergencia Integrales Impropias
Aquí os dejo los vídeo con un curso sobre convergencia y divergencia de integrales impropias
Separar y clasificar integrales impropias: ver Video
Primero hay que estudiar la continuidad de la función y mirar si tiene algún intervalo al infinito, y separar la integral para poder estudiar cada tipo de discontinuidad o intervalo al infinito por separado.
Si la función es continua y acotada es convergente y ya hemos acabado.
Si la función no es continua y acotada seguiremos su estudio.
En el caso de que sean integrales de primera especie (intervalo a infinito), antes de mirar ningún criterio de convergencia tendremos que hacer el límite al infinito.
A partir de aquí ya podemos aplicar criterios de convergencia.
Criterios de Convergencia Integral p: ver Video
Este es el criterio de convergencia que se utiliza más, aunque no tengamos funciones tan sencillas en la mayoría de los casos compararemos con una función del tipo 1/x^p ..
Lo mejor es aprenderse el de primera especie y recordar que el segunda especie va al revés.
Haremos los siguientes ejemplos:
Una vez conocemos el criterio de convergencia de las funciones del tipo 1/x^p , ya podemos empezar a comparar funciones.
Hay dos maneras de compara funciones: comparación directa o con el límite (funciones con el mismo caracter).
Comparación directa de integrales impropias: ver Video
Intentaremos encontrar funciones que sean mayores o menores que las que tenemos.
Haremos los siguientes ejemplos:
Comparación mediante el límite de integrales impropias: ver Video
Intentaremos encontrar funciones que tengan el mismo carácter que la que tenemos. Una función con el mismo carácter es un función que se comporta de la misma manera que otra donde la estamos estudiando.
Si no podemos encontrar una función con el mismo carácter, buscaremos funciones que sean mayores o menores.
Podremos comprobar que hemos escogido la función correcta, haciendo el límite de una función entre la otra.
haremos los siguientes ejemplos:
A partir de aquí, veremos como estudiar la convergencia de algunas funciones: senos y cosenos, exponencial y logaritmos.
Criterio de la Convergencia Absoluta (Senos y Cosenos): ver Video
Cuando aparecen senos y cosenos en integrales convergentes al infinito (1a especie), a veces es imposible encontrar una función que tenga el mismo carácter (que se comporte de la misma manera). Tendremos que recurrir a aplicar el criterio de la convergencia absoluta:
Haremos 3 ejercicios resueltos:
Criterio de Convergencia del número e (Función Gamma)(Exponencial): ver Video
Cuando aparece la función exponencial (número e), gracias a la función Gamma, podemos comparar la función con una función del tipo 1/x^n .
No hace falta que nos aprendamos cuando converge la función Gamma. Haremos el siguiente ejemplo de integral de tercera especie.
Convergencia de integrales impropias Logaritmos: ver Video
Podemos estudiar la convergencia de una integral impropia cuando aparecen logaritmos neperianios de varias maneras. En el vídeo usamos dos:
- Cambio de variable
- Comparando el logaritmo con su recta tangente en x=1
Haremos los siguientes ejercicios resueltos:
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Fracciones Algebraicas
Fracciones Algebraicas
Simplificación de Fracciones Algebraicas
En el primer vídeo, haremos 5 ejercicios resueltos de como simplificar fracciones algebraicas. Iremos de menor a mayor dificultad.
Simplificar Fracciones Algebraicas
En el vídeo haremos el siguiente ejemplo de simplificar fracciones algebraicas. Para simplificar la fracción, tendremos que sacar factor común y factorizar polinomios.
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