Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler por Reducción de Orden
El método de reducción de orden lo podemos aplicar cuando ya conocemos una solución y queremos encontrar la segunda. Consiste en suponer que la segunda solución es la misma que la primera, pero en vez de estar multiplicada por una constante, está multiplicada por una función de x que llamamos u.
Con este método veremos por aparecen logaritmos cuando la solución es múltiple (está repetida).
Os dejo un vídeo con un ejercicio resuelto, volveremos a hacer el Caso 2 donde teníamos una solución real repetida:
Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler NO Homogéneas
Para resolver una ecuación diferencial de Cauchy Euler NO homogéneas tenemos varios métodos.
Método de Variación de los Parámetros o Variación de las Constantes
El método de variación de los parámetros o variación de las constantes es el método general, sirve para encontrar la solución particular para cualquier forma de la función que sólo depende de x en ecuación diferencial (b(x)). Lo podemos usar en las de coeficientes constantes y también en Cauchy Euler.
La solución general de una ecuación diferencial NO homogénea, es la solución de la ecuación homogénea asociada, mas una solución particular.
El método de variación de las constantes o parámetros, sirve para encontrar la solución particular y es el método general, porque sirve para cualquier forma de la función que sólo depende de x (b(x)).
ALERTA: Para aplicar el método de variación de las constantes o parámetros, la y de mayor derivada tiene que estar multiplicada por 1. Tendremos que dividir toda la ecuación diferencial.
Consiste en suponer que la solución particular es la misma que la solución de la homogénea, pero las soluciones en vez de estar multiplicadas por constantes, estarán multiplicadas por funciones de x (que llamaremos u).
Para encontrar esas funciones tenemos montar un sistema de ecuaciones, con las soluciones de la homogéneas y las us derivadas:
Para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar la us derivadas podemos aplicar el método de Cramer, pero no es obligatorio, se puede resolver despejando las us.
Si lo resolvemos por Cramer:
Para encontra las us sin derivar sólo hay que integrar:
ALERTA: Una vez encontrada la solución particular hay que tener en cuenta que tiene que ser linealmente independiente de la solución de la homogénea.
Método de Variación de los Parámetros o Variación de las Constantes (Ecuaciones Diferenciales)
El método de variación de los parámetros o variación de las constantes es el método general, sirve para encontrar la solución particular para cualquier forma de la función que sólo depende de x en ecuación diferencial (b(x)).
La solución general de una ecuación diferencial NO homogénea, es la solución de la ecuación homogénea asociada, mas una solución particular.
El método de variación de las constantes o parámetros, sirve para encontrar la solución particular y es el método general, porque sirve para cualquier forma de la función que sólo depende de x (b(x)).
ALERTA: Para aplicar el método de variación de las constantes o parámetros, la y de mayor derivada tiene que estar multiplicada por 1.
Consiste en suponer que la solución particular es la misma que la solución de la homogénea, pero las soluciones en vez de estar multiplicadas por constantes, estarán multiplicadas por funciones de x (que llamaremos u).
Para encontrar esas funciones tenemos montar un sistema de ecuaciones, con las soluciones de la homogéneas y las us derivadas:
Para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar la us derivadas podemos aplicar el método de Cramer, pero no es obligatorio, se puede resolver despejando las us.
Si lo resolvemos por Cramer:
Para encontra las us sin derivar sólo hay que integrar:
ALERTA: Una vez encontrada la solución particular hay que tener en cuenta que tiene que ser linealmente independiente de la solución de la homogénea.
Os dejo los videos con varios ejemplos de segundo y tercer orden:
Método de los Coeficientes Indeterminados para ecuaciones diferenciales
La solución de una ecuación diferencial NO homogénea es la solución de la ecuación homogénea asociada mas una solución particular.
El método de los coeficientes indeterminados sirve para encontrar la solución particular, pero sólo lo podemos aplicar cuando tenemos 3 tipos de funciones en el término que solamente tiene x de la ecuación diferencial.
Consiste en suponer que la solución particular va a ser igual que el término que sólo tiene x de la ecuación diferencial. Pero hay que tener en cuenta que la solución particular tiene que ser linealmente independiente de la solución de la homogénea, es decir que la particular no se puede repetir.
Método Coeficientes Indeterminados (explicación completa): Ver vídeo
En este vídeo vamos a ver:
Como se aplica el método de los coeficientes indeterminados
Cuando se aplica
Como encontrar la solución particular
Qué hacer cuando la solución particular se repite en la homogénea
Ejercicio resuelto
Ejercicio 2 – Método de los coeficientes indeterminados ecuaciones diferenciales: Ver vídeo
Ejercicio 3 – Coeficientes indeterminados ecuaciones diferenciales: Ver vídeo
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior tienen las ys separadas en cada término, sin estar dentro de ninguna función. A demás son de coeficientes constantes si están multiplicadas por constantes. Y son homogéneas si no tenemos ningún término sólo con xs o constantes. Clica en el enlace superior para ver como se resuelven.
Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Constantes NO Homogéneas
Cuando tenemos un término sólo con funciones de x o constantes ya es NO homogénea.
Cuando tenemos una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes pero NO homogénea, podemos usar dos métodos para resolverlas:
Método de los Coeficientes Indeterminados (sólo para algunos formas)
Método de variación de los Parámetros o variación de las Constantes (método general)
