Método de Variación de los Parámetros o Variación de las Constantes (Ecuaciones Diferenciales)

El método de variación de los parámetros o variación de las constantes es el método general, sirve para encontrar la solución particular para cualquier forma de la función que sólo depende de x en ecuación diferencial (b(x)).

ecuacion diferencial lineal de coeficentes constantes no homogenea

La solución general de una ecuación diferencial NO homogénea, es la solución de la ecuación homogénea asociada, mas una solución particular.

solucion general de una ecuacion diferencial no homogénea

El método de variación de las constantes o parámetros, sirve para encontrar la solución particular y es el método general, porque sirve para cualquier forma de la función que sólo depende de x (b(x)).

ALERTA: Para aplicar el método de variación de las constantes o parámetros, la y de mayor derivada tiene que estar multiplicada por 1.

Consiste en suponer que la solución particular es la misma que la solución de la homogénea, pero las soluciones en vez de estar multiplicadas por constantes, estarán multiplicadas por funciones de x (que llamaremos u).

solucion particular por el metodo de variacion de los parametros

Para encontrar esas funciones tenemos montar un sistema de ecuaciones, con las soluciones de la homogéneas y las us derivadas:

sistema de ecuaciones metodo de variacion de parametros

Para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar la us derivadas podemos aplicar el método de Cramer, pero no es obligatorio, se puede resolver despejando las us.

Si lo resolvemos por Cramer:

Para encontra las us sin derivar sólo hay que integrar:

ALERTA: Una vez encontrada la solución particular hay que tener en cuenta que tiene que ser linealmente independiente de la solución de la homogénea.

Os dejo los videos con varios ejemplos de segundo y tercer orden: