Derivadas Direccionales

Derivada Direccional de una función en un Punto según la dirección de un vector

Cuando calculamos derivadas parciales ya estamos calculando derivadas direccionales. La derivada respecto de x, es la derivada direccional de la función en la dirección del eje de las x.

El calcular el valor de la derivada direccional en un punto siguiendo la dirección de un vector, estamos calculando el crecimiento de la función ó tasa de cambio, en ese punto y en esa dirección .

La fórmula para calcular derivadas direccionales es la siguiente:

En el vídeo del enlace, haremos el siguiente ejemplo:

Derivada Direccional Máxima o Máximo crecimiento de la función en un Punto

La derivada direccional máxima de la función en un punto se da en el sentido del vector gradiente. Es el máximo crecimiento de la función en ese punto o la máxima tasa de cambio en ese punto.

Podemos aplicar la fórmula de la derivada direccional, utilizando el vector gradiente como vector dirección pero hay una fórmula que nos da el mismo resultado y es más corta.

Fórmula de la derivada direccional máxima en un punto:

En el vídeo del enlace haremos el siguiente ejercicio resuelto de derivada direccional máxima o máximo crecimiento de la función o máxima tasa de cambio en un punto:

Derivada Direccional por la Definición

Si la función no es diferenciables en un punto o como pasa en las funciones definidas a trozos que no sabemos si es diferenciable, estamos obligados a usar la definición de derivada direccional. (tal como pasa con las derivadas).

Para calcular la derivada direccional por la definición, en un punto P, según la dirección de un vector v, debemos hacer este límite:

Haremos este ejercicio resuelto de derivada direccional por la definición de una función definida a trozos:

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