Haremos dos ejercicios resueltos de como se aplica el Teorema de la Función Implícita para:
una función de varias variables
sistemas de ecuaciones o función vectorial
El Teorema de la Función Implícita para varias variables nos dice:
Haremos el siguiente ejemplo donde aplicaremos el teorema de función implícita y encontraremos la derivada de la variable definida implícitamente (la z).
El Teorema de la Función Implícita si tenemos un sistema de ecuaciones o una función vectorial, nos dice:
Haremos el siguiente ejemplo y encontraremos las derivadas parciales con 3 métodos: con la fórmula, derivando implícitamente y con la regla de la cadena:
Extremos absolutos condicionados a una restricción:
Si nos dan una función restringida dentro de un entorno, además de calcular los máximos, mínimos relativos y puntos de silla de dentro del recinto, también tendremos que encontrar los máximos y mínimos sobre la restricción. Podemos hacerlo de 2 maneras: con los Multiplicadores de Lagrange o directamente sobre la restricción.
Multiplicadores de Lagrange
Máximos y Mínimos restringidos por Multiplicadores de Lagrange: ver Video
Haremos el siguiente ejercicio resuelto, mediante el método de los Multiplicadores de Lagrange:
Extremos Absolutos de una función de dos variables (Extremos Condicionados)ver Video
Cuando calculamos derivadas parciales ya estamos calculando derivadas direccionales. La derivada respecto de x, es la derivada direccional de la función en la dirección del eje de las x.
El calcular el valor de la derivada direccional en un punto siguiendo la dirección de un vector, estamos calculando el crecimiento de la función ó tasa de cambio, en ese punto y en esa dirección .
La fórmula para calcular derivadas direccionales es la siguiente:
En el vídeo del enlace, haremos el siguiente ejemplo:
La derivada direccional máxima de la función en un punto se da en el sentido del vector gradiente. Es el máximo crecimiento de la función en ese punto o la máxima tasa de cambio en ese punto.
Podemos aplicar la fórmula de la derivada direccional, utilizando el vector gradiente como vector dirección pero hay una fórmula que nos da el mismo resultado y es más corta.
Fórmula de la derivada direccional máxima en un punto:
En el vídeo del enlace haremos el siguiente ejercicio resuelto de derivada direccional máxima o máximo crecimiento de la función o máxima tasa de cambio en un punto:
Si la función no es diferenciables en un punto o como pasa en las funciones definidas a trozos que no sabemos si es diferenciable, estamos obligados a usar la definición de derivada direccional. (tal como pasa con las derivadas).
Para calcular la derivada direccional por la definición, en un punto P, según la dirección de un vector v, debemos hacer este límite:
Haremos este ejercicio resuelto de derivada direccional por la definición de una función definida a trozos:
Podemos calcular el límite de funciones de varias variables con diferentes métodos. Algunos sirven para calcular el límite y otros sólo para saber si No existe o el valor en el caso de existir.
Los limites direccionales o límites por trayectorias o límites por cambio de variable, NO sirven para calcular el límite. Como pasaba con los iterados nos encontraremos 2 casos:
Si al calcular varios límites en varias direcciones alguno nos dan un valor diferente, entonces el límite NO existe.
Si al calcular varios límites en varias direcciones todos nos dan el mismo valor, NO puedo asegurar que el límite existe pero si que valor tiene si existiese.
Continuidad y Diferenciabilidad de Funciones de Varias Variables
Para estudiar la diferenciabilidad de una función de varias variables en un punto, primero tendremos que estudiar su continuidad:
Si una función NO es continua en el punto, NO es diferenciable.
Si una función es continua en el punto, seguiremos estudiando la diferenciablidad.
Tenemos 2 maneras para estudiar la diferenciabilidad de una función en un punto.
Condición suficiente pero no necesaria de diferenciabilidad:
Si las derivadas parciales en el punto, existen y son continuas, la función es diferenciable en el punto.
Si las derivadas parciales en el punto, no existen o existen pero no son continuas, podemos seguir estudiando la diferenciabilidad. Todavía no descartamos que sea diferenciable.
Condición necesaria de diferenciabilidad:
Si el límite es igual a cero, la función es diferenciable.
Si el límite NO es igual a cero, la función NO es diferenciable.
Para estudiar la diferenciabilidad de varias variables podemos seguir este esquema:
Aquí dejo los enlaces a dos ejercicios resueltos de como estudiar la diferenciabilidad de una función de varias variables:
Calcularemos las derivadas parciales de una función de varias variables utilizando la regla de la cadena, es decir que aplicaremos la regla de la cadena a una función compuesta.
Haremos este ejemplo:
Ese mismo ejemplo, preguntado de otra manera:
Ejercicio resuelto de regla de la cadena: ver Video
