Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler

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Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler Homogéneas

Las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler son de la forma:

El exponente de las x tiene que ser del mismo oren que la derivada de la y que acompaña.

Pueden ser homogéneas y NO homogéneas.

En la ecuaciones diferenciales de Cauchy Euler, la solución de la ecuación homogénea asociada es de la forma:

Para encontrar el valor de la r, sustituiremos la solución en la ecuación diferencial. Nos podemos encontrar con 3 casos:

Os dejo un vídeo con un ejercicio resuelto de cada caso:

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler soluciones reales simples

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler soluciones reales múltiples

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler raices complejas

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler por Reducción de Orden

El método de reducción de orden lo podemos aplicar cuando ya conocemos una solución y queremos encontrar la segunda. Consiste en suponer que la segunda solución es la misma que la primera, pero en vez de estar multiplicada por una constante, está multiplicada por una función de x que llamamos u.

Con este método veremos por aparecen logaritmos cuando la solución es múltiple (está repetida).

Os dejo un vídeo con un ejercicio resuelto, volveremos a hacer el Caso 2 donde teníamos una solución real repetida:

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler por Reducción de Orden

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Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler NO Homogéneas

Para resolver una ecuación diferencial de Cauchy Euler NO homogéneas tenemos varios métodos.

Método de Variación de los Parámetros o Variación de las Constantes

El método de variación de los parámetros o variación de las constantes es el método general, sirve para encontrar la solución particular para cualquier forma de la función que sólo depende de x en ecuación diferencial (b(x)). Lo podemos usar en las de coeficientes constantes y también en Cauchy Euler.

La solución general de una ecuación diferencial NO homogénea, es la solución de la ecuación homogénea asociada, mas una solución particular.

El método de variación de las constantes o parámetros, sirve para encontrar la solución particular y es el método general, porque sirve para cualquier forma de la función que sólo depende de x (b(x)).

ALERTA: Para aplicar el método de variación de las constantes o parámetros, la y de mayor derivada tiene que estar multiplicada por 1. Tendremos que dividir toda la ecuación diferencial.

Consiste en suponer que la solución particular es la misma que la solución de la homogénea, pero las soluciones en vez de estar multiplicadas por constantes, estarán multiplicadas por funciones de x (que llamaremos u).

Para encontrar esas funciones tenemos montar un sistema de ecuaciones, con las soluciones de la homogéneas y las us derivadas:

Para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar la us derivadas podemos aplicar el método de Cramer, pero no es obligatorio, se puede resolver despejando las us.

Si lo resolvemos por Cramer:

Para encontra las us sin derivar sólo hay que integrar:

ALERTA: Una vez encontrada la solución particular hay que tener en cuenta que tiene que ser linealmente independiente de la solución de la homogénea.

Os dejo un video con un ejercicio resuelto:

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler no homogéneas variación de parámetros

Convertir Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler a Coeficientes Constantes (por sustitución)

Haremos un cambio de variable para convertir la ecuación diferencial de Cauchy Euler en una de coeficientes Constantes.

El cambio de variable que tenemos que hacer es con el número e:

Os dejo un vídeo con ejercicio resuelto con este método:

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler a Coeficientes Constantes

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