Ejercicios Resueltos de Funciones de Varias Variables

Cálculo Multivariable

Aquí os dejo vídeos con ejercicios resueltos:

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Como encontrar y representar el Dominio: Vídeo con 3 ejemplos

El dominio de una función son los valores de las funciones de entrada para los que existe la función.

Como pasaba en las funciones de una variable tendremos que tener en cuenta:

Las funciones más habituales que nos vamos a encontrar y que tendremos que conocer para encontrar el dominio o dibujar la curva de nivel son:

Encontraremos el dominio de estos cuatro ejemplos:

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Curvas de nivel con representación gráfica: Video con 3 ejemplos de curvas más habituales

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Límites de Funciones de varias Variables

Dentro de este apartado haremos ejemplos de los siguientes tipos de límites de funciones de varias variables:

• Límites directos y por factorización
• Límites iterados o reiterados
• Límites direccionales o por trayectorias
• Límites por cambio a coordenadas polares

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Derivadas Parciales:

Ejemplo 1 de derivadas parciales: ver Video

Ejemplo 2 de derivadas parciales: ver Video

Ejemplo 3 de derivadas parciales: ver Video

Derivadas parciales por Derivación Implícita:

Ejemplo 1 de derivadas parciales desde cero: ver Video

Ejemplo 2 de derivadas parciales: ver Video

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Regla de la Cadena para Derivadas Parciales:

Calcularemos las derivadas parciales de una función de varias variables utilizando la regla de la cadena, es decir que aplicaremos la regla de la cadena a una función compuesta.

Haremos este ejemplo:

Ese mismo ejemplo, preguntado de otra manera:

Ejercicio resuelto de regla de la cadena: ver Video

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Calcular el vector gradiente en un punto: ver vídeo

El vector gradiente en un punto, es el vector que contiene las derivadas parciales en ese punto:

haremos el siguiente ejemplo:

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Como calcular el plano tangente de una función de dos variables: (2 métodos)

Podemos calcular el plano tangente de dos formas según si la función que nos dan está definida explícitamente (la z despejada) o implícitamente :

Método 1: Como calcular el plano tangente y ejemplo: ver vídeo

El plano tangente de una función de varias variables en un punto es:

Veremos como se calcula y haremos el siguiente ejercicio:

El método anterior NO lo podremos hacer siempre, el siguiente método sirve para calcular el plano tangente de cualquier función de 2 variables:

Método 2: Vector gradiente y plano tangente ver vídeo

Si la función está definida implícitamente, tendremos que calcular el plano tangente multiplicando por el gradiente:

Haremos el siguiente ejercicio resuelto:

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Derivada direccional y máximo crecimiento de la función en un punto

En este apartado veremos 3 métodos resueltos de como calcular la derivada direccional:

• (con la fórmula) derivada direccional de una función en un punto según la dirección de un vector
• derivada direccional máxima en un punto
• derivadas direccionales por la definición

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Derivadas parciales por la definición

En las funciones definidas a trozos, en los puntos en los que se separa la función, estamos obligados a usar la definición de derivada parcial.

a) Haremos dos ejemplos usando la definición de derivada parcial en un punto. En el primer ejercicio la función se separa en un punto:

a) Ejercicio resuelto de derivadas parciales de una función definida a trozos: ver Video

b) En el segundo ejercicio resuelto, la función se separa en otra función (una recta):

b) Ejercicio resuelto de derivadas parciales de una función definida a trozos: ver Video

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Diferenciabilidad de Funciones de varias variables

Veremos los pasos a seguir para saber si una función es diferenciable en un punto.

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Máximos y mínimos de Funciones de varias variables

Optimización de Funciones de Varias variables. Máximos relativos, mínimos relativos y puntos de silla de varias variables.

Dentro de este apartado Buscaremos:

• máximos relativos, mínimos relativos y puntos de silla de 2 variables
• máximos relativos, mínimos relativos y puntos de silla de 3 variables
• máximos y mínimos restringidos en un entorno = máximos y mínimos absolutos de varias variables con 2 métodos:
  • Método de los Multiplicadores de Lagrange
  • Directamente trabajando sobre la región

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Teorema de la Función Implícita en Varias variables

En este apartado haremos dos ejercicios resueltos de como se aplica el Teorema de la Función Implícita para:

• una función de varias variables
• sistemas de ecuaciones o función vectorial

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Polinomio de Taylor para Varias Variables

El polinomio de Taylor de orden 2 de una función de dos variables es:

En el video haremos el siguiente ejemplo:

Polinomio de Taylor de una función de dos Variables ver video

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