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Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Lineales

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Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Lineales:

En este tipo de ecuaciones son de la forma:

Consideraremos este sistema de ecuaciones:

Según si este sistema de ecuaciones tiene o no tiene solución tendremos dos casos es decir dos maneras de resolverlas.

Caso 1: (reducibles a homogéneas) El sistema de ecuaciones tiene solución, con el cambio de variable la ecuación diferencial se convertirá en una homogénea.

Caso 2: El sistema de ecuaciones no tiene solución, con el cambio de variable se convertirá en una de variables separables.

(Ejercicio 1 y explicación) Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Lineales Caso 1 (Reducibles a homogéneas): Ver Vídeo

(Ejercicio 2) Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Lineales Caso 2 (Reducibles a Variables Separables): Ver Vídeo

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Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

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Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden

(Ejercicio 1) Qué son las EDOs Homogéneas y ejercicio resuelto: Ver Vídeo

Antes de resolver ecuaciones diferenciales homogéneas tenemos que saber:

  • Qué es una función homogénea?
  • Qué es una ecuación diferencial homogénea?

Para resolver las EDOs homogéneas tendremos que hacer un cambio de variable y se nos convertirá en una EDO de Variables Separables:

En el vídeo resolveremos este ejercicio:

(Ejercicio 2) Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con condiciones iniciales: Ver Vídeo

Resolveremos una ecuación diferencial homogénea con valor inicial:

(Ejercicio 3) Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con raíz: Ver Vídeo

Resolveremos una ecuación diferencial homogénea con raíz:

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Ecuaciones diferenciales de Variables Separables

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Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables:

(Ejemplo1) Qué son las EDOs de Variables Separables: Ver Vídeo

Tenemos una ecuación diferencial de Variables Separables, si podemos escribir la ecuación de la forma:

ecuaciones diferenciales de variables separables

En este vídeo resolveremos el siguiente ejemplo y veremos como diferenciarlas:

(Ejemplo 2) EDO Variables Separables con Condición Inicial: Ver Vídeo

Para resolver una ecuación diferencial con condición o valor inicial:

  • primero resolveremos la EDO y encontraremos su solución general
  • después sustituiremos la condición inicial y encontraremos la constante. Esto nos dará una solución particular.

(Ejemplo 3) Ecuación Diferencial Variables Separables por Factorización: Ver Vídeo

En este ejemplo tendremos que aplicar factorización con A B y cambio de variables para resolver las integrales:

ejercicio resuelto de ecuacion diferencial de variables separables factorizacion

(Ejemplo 4) Ecuación Diferencial Variables Separables mediante Factorización: Ver Vídeo

En este ejemplo tendremos que aplicar factorización varas veces para convertir la ecuación en una de variables separables. Tendremos que hacer dos integrales por factorización con A B:

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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

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Curso de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Introducción a las ecuaciones diferenciales: Ver Vídeo

Antes de resolver ecuaciones diferenciales de primer orden veremos:

  • qué es una ecuación diferencial?
  • notación utilizada
  • que son las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales
  • qué es el orden de una ecuación diferencial?
  • qué es la solución de una ecuación diferencial?
  • qué es la solución general y la solución particular –
  • qué es el valor inicial o condición inicial de una ecuación diferencial

Ecuaciones Diferenciales En Variables Separables

En este apartado podrás encontrar 4 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de variables separables.

ecuaciones diferenciales de variables separables

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden

Veremos desde cero que son las ecuaciones diferenciales homogéneas y 3 ejercicios resueltos.

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

Veremos como es una ecuación lineal de primer orden y resolveremos 2 ejemplos con la fórmula.

Ecuaciones Diferenciales con Coeficiente Lineales

Veremos los dos casos que podemos encontrar de ecuaciones diferenciales con coeficientes lineales y como resolver cada uno con dos ejercicios.

ecuacion diferencial con coeficientes lineales

Ecuaciones Diferenciales de Bernouilli

Haremos 2 ejercicios de como resolver ecuaciones diferenciales de Bernouilli.

Ecuaciones Diferenciales de Riccati

Encontrarás 2 ejercicios resueltos de como resolver ecuaciones diferenciales de Riccati.

Ecuación Diferencial de Riccati

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Veremos como resolver ecuaciones diferenciales exactas con 3 jemplos.

ecuación diferencial exacta
Ecuación diferencial Exacta

Ecuaciones Diferenciales NO Exactas por Factor Integrante

Si una ecuación diferencial no nos da exacta, tendremos que buscar un factor integrante. Heremos 3 ejercicios con los 3 factores integrantes más habituales: x, y, xy

Factor integrante

Encontar las Trayectorias Ortogonales Ejercicios Resueltos

En el video veremos un ejercicio resuelto de cómo encontrar la familia de curvas ortogonales o cómo hallar las curvas ortogonales a una familia de curvas. Haremos el siguiente ejemplo:

ejercicio resuelto como encontrar la famila de curvas ortogonales

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Funciones de Varias Variables

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Ejercicios Resueltos de Funciones de Varias Variables

Cálculo Multivariable

Aquí os dejo vídeos con ejercicios resueltos:

Como encontrar y representar el Dominio: Vídeo con 3 ejemplos

El dominio de una función son los valores de las funciones de entrada para los que existe la función.

Como pasaba en las funciones de una variable tendremos que tener en cuenta:

dominio de una función

Las funciones más habituales que nos vamos a encontrar y que tendremos que conocer para encontrar el dominio o dibujar la curva de nivel son:

funciones recta parábola y circunferencia

Encontraremos el dominio de estos cuatro ejemplos:

ejercicios resueltos de dominio de una función de varias variables

Curvas de nivel con representación gráfica: Video con 3 ejemplos de curvas más habituales

Límites de Funciones de varias Variables

Dentro de este apartado haremos ejemplos de los siguientes tipos de límites de funciones de varias variables:

  • Límites directos y por factorización
  • Límites iterados o reiterados
  • Límites direccionales o por trayectorias
  • Límites por cambio a coordenadas polares

Derivadas Parciales:

Ejemplo 1 de derivadas parciales: ver Video

Ejemplo 2 de derivadas parciales: ver Video

Ejemplo 3 de derivadas parciales: ver Video

Derivadas parciales por Derivación Implícita:

Ejemplo 1 de derivadas parciales desde cero: ver Video

Ejemplo 2 de derivadas parciales: ver Video

Regla de la Cadena para Derivadas Parciales:

Calcularemos las derivadas parciales de una función de varias variables utilizando la regla de la cadena, es decir que aplicaremos la regla de la cadena a una función compuesta.

Haremos este ejemplo:

regla de la cadena funciones de varias variables

Ese mismo ejemplo, preguntado de otra manera:

regla de la cadena para funciones compuestas

Ejercicio resuelto de regla de la cadena: ver Video

Calcular el vector gradiente en un punto: ver vídeo

El vector gradiente en un punto, es el vector que contiene las derivadas parciales en ese punto:

vector grtadiente en un punto

haremos el siguiente ejemplo:

ejercicio resuelto de como calcular el vector gradiente de una funcion de varias variables

Como calcular el plano tangente de una función de dos variables: (2 métodos)

Podemos calcular el plano tangente de dos formas según si la función que nos dan está definida explícitamente (la z despejada) o implícitamente :

forma de calcular el plano tangente de una función de dos variables

Método 1: Como calcular el plano tangente y ejemplo: ver vídeo

El plano tangente de una función de varias variables en un punto es:

plano tangente de una función de 2 variables

Veremos como se calcula y haremos el siguiente ejercicio:

ejercicio resuelto de como calcular el plano tengente a una funcion de varias variables

El método anterior NO lo podremos hacer siempre, el siguiente método sirve para calcular el plano tangente de cualquier función de 2 variables:

Método 2: Vector gradiente y plano tangente ver vídeo

Si la función está definida implícitamente, tendremos que calcular el plano tangente multiplicando por el gradiente:

plano tangente y vector gradiente

Haremos el siguiente ejercicio resuelto:

ejercicio resuelto de plano tangente de una funcion de dos variables en implicita

Derivada direccional y máximo crecimiento de la función en un punto

En este apartado veremos 3 métodos resueltos de como calcular la derivada direccional:

  • (con la fórmula) derivada direccional de una función en un punto según la dirección de un vector
  • derivada direccional máxima en un punto
  • derivadas direccionales por la definición

Derivadas parciales por la definición

En las funciones definidas a trozos, en los puntos en los que se separa la función, estamos obligados a usar la definición de derivada parcial.

a) Haremos dos ejemplos usando la definición de derivada parcial en un punto. En el primer ejercicio la función se separa en un punto:

a) Ejercicio resuelto de derivadas parciales de una función definida a trozos: ver Video

derivadas parciales de funcion definida a trozos

b) En el segundo ejercicio resuelto, la función se separa en otra función (una recta):

b) Ejercicio resuelto de derivadas parciales de una función definida a trozos: ver Video

ejercicio resuelto de deribada parcial de una funcion definida a trozos

Diferenciabilidad de Funciones de varias variables

Veremos los pasos a seguir para saber si una función es diferenciable en un punto.

Máximos y mínimos de Funciones de varias variables

Optimización de Funciones de Varias variables. Máximos relativos, mínimos relativos y puntos de silla de varias variables.

Dentro de este apartado Buscaremos:

  • máximos relativos, mínimos relativos y puntos de silla de 2 variables
  • máximos relativos, mínimos relativos y puntos de silla de 3 variables
  • máximos y mínimos restringidos en un entorno = máximos y mínimos absolutos de varias variables con 2 métodos:
    • Método de los Multiplicadores de Lagrange
    • Directamente trabajando sobre la región

Teorema de la Función Implícita en Varias variables

En este apartado haremos dos ejercicios resueltos de como se aplica el Teorema de la Función Implícita para:

  • una función de varias variables
  • sistemas de ecuaciones o función vectorial

Polinomio de Taylor para Varias Variables

El polinomio de Taylor de orden 2 de una función de dos variables es:

polinomio de Taylor de una función de dos variables

En el video haremos el siguiente ejemplo:

Polinomio de Taylor de una función de dos Variables ver video

ejercicio resuelto de polinomio de Taylor de varias variables

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