Categoría: funciones de varias variables

funciones de varias variables

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Derivada Direccional

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Derivadas Direccionales

Derivada Direccional de una función en un Punto según la dirección de un vector

Cuando calculamos derivadas parciales ya estamos calculando derivadas direccionales. La derivada respecto de x, es la derivada direccional de la función en la dirección del eje de las x.

El calcular el valor de la derivada direccional en un punto siguiendo la dirección de un vector, estamos calculando el crecimiento de la función ó tasa de cambio, en ese punto y en esa dirección .

La fórmula para calcular derivadas direccionales es la siguiente:

formula de la derivada direccional

En el vídeo del enlace, haremos el siguiente ejemplo:

ejercicio resuelto de derivada direccional

Derivada Direccional Máxima o Máximo crecimiento de la función en un Punto

La derivada direccional máxima de la función en un punto se da en el sentido del vector gradiente. Es el máximo crecimiento de la función en ese punto o la máxima tasa de cambio en ese punto.

Podemos aplicar la fórmula de la derivada direccional, utilizando el vector gradiente como vector dirección pero hay una fórmula que nos da el mismo resultado y es más corta.

Fórmula de la derivada direccional máxima en un punto:

formula derivada direccional maxima

En el vídeo del enlace haremos el siguiente ejercicio resuelto de derivada direccional máxima o máximo crecimiento de la función o máxima tasa de cambio en un punto:

ejercicio resuelto de derivada direccional maxima

Derivada Direccional por la Definición

Si la función no es diferenciables en un punto o como pasa en las funciones definidas a trozos que no sabemos si es diferenciable, estamos obligados a usar la definición de derivada direccional. (tal como pasa con las derivadas).

Para calcular la derivada direccional por la definición, en un punto P, según la dirección de un vector v, debemos hacer este límite:

derivada direccional por la definicion

Haremos este ejercicio resuelto de derivada direccional por la definición de una función definida a trozos:

ejercicio resuelto de derivada direccional por la definicion

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Límites de Funciones de Varias Variables

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Límites de Funciones de Varias Variables

El límite es único y puede NO existir.

Podemos calcular el límite de funciones de varias variables con diferentes métodos. Algunos sirven para calcular el límite y otros sólo para saber si No existe o el valor en el caso de existir.

Límites directos y con 2 tipos de factorización: Video con 4 ejemplos

Con los límites directos (sustituyendo el valor) SI vale para calcular el valor del límite.

En el vídeo haremos 3 ejemplos de límites directos:

límites directos de funciones de varias variables ejercicios resueltos

Y 2 ejemplos de límites por factorización:

límites por factorización ejercicios resueltos funciones de varias variables

Límites iterados o reiterados: Video con ejemplos

Los limites iterados o reiterados NO sirven para calcular el límite. Nos podemos encontrar dos casos:

  • Si al calcular los límites iterados nos dan valores diferentes, entonces el límite NO existe.
  • Si al calcular los límites iterados nos dan el mismo valor, NO puedo asegurar que el límite existe pero si que valor tiene si existiese.

En el vídeo haremos 2 ejemplos:

límites iterados ejercicios resueltos

Límites direccionales o por trayectorias: Ver Video con ejemplos

Los limites direccionales o límites por trayectorias o límites por cambio de variable, NO sirven para calcular el límite. Como pasaba con los iterados nos encontraremos 2 casos:

  • Si al calcular varios límites en varias direcciones alguno nos dan un valor diferente, entonces el límite NO existe.
  • Si al calcular varios límites en varias direcciones todos nos dan el mismo valor, NO puedo asegurar que el límite existe pero si que valor tiene si existiese.

En el vídeo haremos los siguientes ejemplos:

límites direccionales ejercicios resueltos

Límites por cambio a Coordenadas Polares: explicación y 4 ejemplos

Los límites por cambio a coordenadas polares SI sirven para calcular el límite.

El cambio a coordenadas polares, consiste en hacer este cambio de variable:

El límite NO existirá si el resultado depende del ángulo.

En el vídeo haremos los siguientes ejemplos:

límites por cambio a coordenadas polares ejercicios resueltos

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Continuidad y Diferenciabilidad de Funciones de Varias Variables

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Continuidad y Diferenciabilidad de Funciones de Varias Variables

Para estudiar la diferenciabilidad de una función de varias variables en un punto, primero tendremos que estudiar su continuidad:

continuidad de una funcion de varias variables

Si una función NO es continua en el punto, NO es diferenciable.

Si una función es continua en el punto, seguiremos estudiando la diferenciablidad.

Tenemos 2 maneras para estudiar la diferenciabilidad de una función en un punto.

Condición suficiente pero no necesaria de diferenciabilidad:

condicion suficiente pero no necesaria de diferenciabilidad

Si las derivadas parciales en el punto, existen y son continuas, la función es diferenciable en el punto.

Si las derivadas parciales en el punto, no existen o existen pero no son continuas, podemos seguir estudiando la diferenciabilidad. Todavía no descartamos que sea diferenciable.

Condición necesaria de diferenciabilidad:

condicion necesaria de diferenciabilidad

Si el límite es igual a cero, la función es diferenciable.

Si el límite NO es igual a cero, la función NO es diferenciable.

Para estudiar la diferenciabilidad de varias variables podemos seguir este esquema:

diferenciabilidad de una funcion de varias variables

Aquí dejo los enlaces a dos ejercicios resueltos de como estudiar la diferenciabilidad de una función de varias variables:

Diferenciabilidad de funciones de varias variables: ver vídeo ejemplo 1

Estudiaremos la continuidad y diferenciabilidad de esta función:

diferenciabilidad de finciones de varias variables ejercicio resuelto

Continiudad y diferenciabilidad funció de varias variables: ver vídeo ejemplo 2

Estudiaremos la continuidad, existencia y continuidad de las derivadas parciales y diferenciabilidad de esta función:

continuidad y diferenciablidad funcion de varias variables

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Funciones de Varias Variables

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Ejercicios Resueltos de Funciones de Varias Variables

Cálculo Multivariable

Aquí os dejo vídeos con ejercicios resueltos:

Como encontrar y representar el Dominio: Vídeo con 3 ejemplos

El dominio de una función son los valores de las funciones de entrada para los que existe la función.

Como pasaba en las funciones de una variable tendremos que tener en cuenta:

dominio de una función

Las funciones más habituales que nos vamos a encontrar y que tendremos que conocer para encontrar el dominio o dibujar la curva de nivel son:

funciones recta parábola y circunferencia

Encontraremos el dominio de estos cuatro ejemplos:

ejercicios resueltos de dominio de una función de varias variables

Curvas de nivel con representación gráfica: Video con 3 ejemplos de curvas más habituales

Límites de Funciones de varias Variables

Podemos calcular el límite de funciones de varias variables con diferentes métodos. Algunos sirven para calcular el límite y otros sólo para saber si No existe o el valor en el caso de existir.

Haremos ejemplos de los siguientes tipos de límites de funciones de varias variables:

  • Límites directos y por factorización
  • Límites iterados o reiterados
  • Límites direccionales o por trayectorias
  • Límites por cambio a coordenadas polares

Derivadas Parciales:

Ejemplo 1 de derivadas parciales: ver Video

Ejemplo 2 de derivadas parciales: ver Video

Ejemplo 3 de derivadas parciales: ver Video

Derivadas parciales por Derivación Implícita:

Ejemplo 1 de derivadas parciales desde cero: ver Video

Ejemplo 2 de derivadas parciales: ver Video

Regla de la Cadena para Derivadas Parciales:

Calcularemos las derivadas parciales de una función de varias variables utilizando la regla de la cadena, es decir que aplicaremos la regla de la cadena a una función compuesta.

Haremos este ejemplo:

regla de la cadena funciones de varias variables

Ese mismo ejemplo, preguntado de otra manera:

regla de la cadena para funciones compuestas

Ejercicio resuelto de regla de la cadena: ver Video

Calcular el vector gradiente en un punto: ver vídeo

El vector gradiente en un punto, es el vector que contiene las derivadas parciales en ese punto:

vector grtadiente en un punto

haremos el siguiente ejemplo:

ejercicio resuelto de como calcular el vector gradiente de una funcion de varias variables

Como calcular el plano tangente y ejemplo: ver vídeo

El plano tangente de una función de varias variables en un punto es:

plano tangente de una función de 2 variables

Veremos como se calcula y haremos el siguiente ejercicio:

ejercicio resuelto de como calcular el plano tengente a una funcion de varias variables

Derivada direccional y máximo crecimiento de la función en un punto

Veremos ejemplos resueltos de como calcular:

  • derivada direccional de una función en un punto según la dirección de un vector
  • derivada direccional máxima en un punto
  • derivadas direccionales por la definición

Derivadas parciales por la definición

En las funciones definidas a trozos, en los puntos en los que se separa la función, estamos obligados a usar la definición de derivada parcial.

a) Haremos dos ejemplos usando la definición de derivada parcial en un punto. En el primer ejercicio la función se separa en un punto:

derivadas parciales de funcion definida a trozos

a) Ejercicio resuelto de derivadas parciales de una función definida a trozos: ver Video

b) En el segundo ejercicio resuelto, la función se separa en otra función (una recta):

ejercicio resuelto de deribada parcial de una funcion definida a trozos

b) Ejercicio resuelto de derivadas parciales de una función definida a trozos: ver Video

Diferenciabilidad de Funciones de varias variables

Veremos los pasos a seguir para saber si una función es diferenciable en un punto.

Optimización de Funciones de Varias variables:

Máximos relativos, mínimos relativos y Puntos de Silla

Para encontrar los puntos críticos (es decir máximos y mínimos relativos y puntos de silla) podemos seguir el siguiente esquema:

criterios para encontrar maximos minimos y puntos de silla

En el vídeo veremos el siguiente ejemplo:

ejercicio resuelto de maximos relativos minimos relativos y puntos de silla

Máximos y Mínimos Relativos de funciones de varias variables (desde cero): ver Video

Multiplicadores de Lagrange

Máximos y Mínimos restringidos por Multiplicadores de Lagrange: ver Video

Veremos los paso

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