Haremos un ejercicio de como hacer la integral de una función sobre un rectángulo, o lo que es lo mismo aplicaremos el Teorema de Fubini, para hacer una integral sobre un rectángulo. Haremos el siguiente ejercicio:
En el video veremos cómo resolver integrales dobles sobre regiones generales de tipo I y tipo II. Hay una breve explicación de que son las integrales dobles sobre una región y el siguiente ejercicio resuelto:
En el video haremos otro ejercicio de integrales dobles sobre regiones generales de tipo I y tipo II. En el área sobre la que tenemos que integrar aparece un valor absoluto:
En el siguiente vídeo veremos como hacer la integral de convolución con el método gráfico desde cero. Calcularemos el producto de convolución de dos funciones sumando áreas, sin calcular la integral.
Para calcular la convolución mediante la gráfica tendremos que dibujar las dos funciones, pero la segunda función habrá que modificarla antes (reflexión + desplazamiento).
Haremos dos ejercicios resueltos. En el primero calcularemos la integral de convolución de una rampa por un pulso rectangular en 3 instantes de tiempo:
En el segundo ejercicio calcularemos la convolución gráficamente para cualquier tiempo.
Veremos varios vídeos de como calcular la serie compleja de Fourier y de como calcular los coeficientes de la serie trigonométrica (an, bn) a partir del coeficiente de la serie compleja Cn .
Encontrareis ejercicios resueltos calculando serie de Fourier compleja y encontrar los coeficientes de la serie trigonométrica a apartir de la serie compleja.
Haremos la transformada de Fourier usando la definición, con la integral. Como tenemos un valor absoluto, separaremos la función en dos con una función definida a trozos. Además al final del video, veremos como es la transformada de Fourier de una función real de simetría par.
Haremos la transformada de Fourier de un pulso rectangular usando la definición, con la integral. Como tenemos una función definida a trozos, tendremos que separar la integral. Además tendremos que simplificar el resultado usando las fórmulas de Euler del coseno y el seno.
Haremos un ejercicio resuelto de transformada de Fourier mediante la propiedad de modulación. Es decir cuando tengamos una función multiplicada por un coseno, podremos usar esta propiedad de la transformada de Fourier.
Haremos el siguiente ejercicio. Se trata de un pulso rectangular por un coseno:
Haremos un ejercicio resuelto de transformada de Fourier mediante la propiedad de dualidad o simetría. Cuando tengamos una función en t que se parezca a una transformada, utilizaremos esta propiedad.
Haremos un ejemplo de transformada de Fourier mediante la propiedad de derivación en el tiempo, es decir mediante la derivada. Utilizaremos esta propiedad cuando hacer la transformada de Fourier de la derivada, sea más fácil que hacer la transformada de la propia función. También cuando nos pidan hacer la transformada a partir de la gráfica de la función.
Haremos otro ejemplo de transformada de Fourier mediante la propiedad de derivación en el tiempo, pero usaremos el de la segunda derivada. Al derivar nos aparecerán impulsos.
Haremos el siguiente ejercicio:
Utilizaremos la propiedad de la primera derivaday de la segunda derivada:
Haremos otro ejemplo de transformada de Fourier y tendremos que utilizar dos propiedades: la propiedad de derivación en frecuencia i la propiedad de cambio de escala.
Haremos el siguiente ejercicio:
utilizaremos las propiedades de derivación en frecuencia y cambio descala:
Haremos dos ejercicios resueltos de como se aplica el Teorema de la Función Implícita para:
una función de varias variables
sistemas de ecuaciones o función vectorial
El Teorema de la Función Implícita para varias variables nos dice:
Haremos el siguiente ejemplo donde aplicaremos el teorema de función implícita y encontraremos la derivada de la variable definida implícitamente (la z).
El Teorema de la Función Implícita si tenemos un sistema de ecuaciones o una función vectorial, nos dice:
Haremos el siguiente ejemplo y encontraremos las derivadas parciales con 3 métodos: con la fórmula, derivando implícitamente y con la regla de la cadena:
Extremos absolutos condicionados a una restricción:
Si nos dan una función restringida dentro de un entorno, además de calcular los máximos, mínimos relativos y puntos de silla de dentro del recinto, también tendremos que encontrar los máximos y mínimos sobre la restricción. Podemos hacerlo de 2 maneras: con los Multiplicadores de Lagrange o directamente sobre la restricción.
Multiplicadores de Lagrange
Máximos y Mínimos restringidos por Multiplicadores de Lagrange: ver Video
Haremos el siguiente ejercicio resuelto, mediante el método de los Multiplicadores de Lagrange:
Extremos Absolutos de una función de dos variables (Extremos Condicionados)ver Video
Primero hay que estudiar la continuidad de la función y mirar si tiene algún intervalo al infinito, y separar la integral para poder estudiar cada tipo de discontinuidad o intervalo al infinito por separado.
Si la función es continua y acotada es convergente y ya hemos acabado.
Si la función no es continua y acotada seguiremos su estudio.
En el caso de que sean integrales de primera especie (intervalo a infinito), antes de mirar ningún criterio de convergencia tendremos que hacer el límite al infinito.
A partir de aquí ya podemos aplicar criterios de convergencia.
Este es el criterio de convergencia que se utiliza más, aunque no tengamos funciones tan sencillas en la mayoría de los casos compararemos con una función del tipo 1/x^p ..
Lo mejor es aprenderse el de primera especie y recordar que el segunda especie va al revés.
Haremos los siguientes ejemplos:
Una vez conocemos el criterio de convergencia de las funciones del tipo 1/x^p , ya podemos empezar a comparar funciones.
Hay dos maneras de compara funciones: comparación directa o con el límite (funciones con el mismo caracter).
Intentaremos encontrar funciones que tengan el mismo carácter que la que tenemos. Una función con el mismo carácter es un función que se comporta de la misma manera que otra donde la estamos estudiando.
Si no podemos encontrar una función con el mismo carácter, buscaremos funciones que sean mayores o menores.
Podremos comprobar que hemos escogido la función correcta, haciendo el límite de una función entre la otra.
haremos los siguientes ejemplos:
A partir de aquí, veremos como estudiar la convergencia de algunas funciones: senos y cosenos, exponencial y logaritmos.
Cuando aparecen senos y cosenos en integrales convergentes al infinito (1a especie), a veces es imposible encontrar una función que tenga el mismo carácter (que se comporte de la misma manera). Tendremos que recurrir a aplicar el criterio de la convergencia absoluta:
Podemos calcular el límite de funciones de varias variables con diferentes métodos. Algunos sirven para calcular el límite y otros sólo para saber si No existe o el valor en el caso de existir.
Los limites direccionales o límites por trayectorias o límites por cambio de variable, NO sirven para calcular el límite. Como pasaba con los iterados nos encontraremos 2 casos:
Si al calcular varios límites en varias direcciones alguno nos dan un valor diferente, entonces el límite NO existe.
Si al calcular varios límites en varias direcciones todos nos dan el mismo valor, NO puedo asegurar que el límite existe pero si que valor tiene si existiese.
Continuidad y Diferenciabilidad de Funciones de Varias Variables
Para estudiar la diferenciabilidad de una función de varias variables en un punto, primero tendremos que estudiar su continuidad:
Si una función NO es continua en el punto, NO es diferenciable.
Si una función es continua en el punto, seguiremos estudiando la diferenciablidad.
Tenemos 2 maneras para estudiar la diferenciabilidad de una función en un punto.
Condición suficiente pero no necesaria de diferenciabilidad:
Si las derivadas parciales en el punto, existen y son continuas, la función es diferenciable en el punto.
Si las derivadas parciales en el punto, no existen o existen pero no son continuas, podemos seguir estudiando la diferenciabilidad. Todavía no descartamos que sea diferenciable.
Condición necesaria de diferenciabilidad:
Si el límite es igual a cero, la función es diferenciable.
Si el límite NO es igual a cero, la función NO es diferenciable.
Para estudiar la diferenciabilidad de varias variables podemos seguir este esquema:
Aquí dejo los enlaces a dos ejercicios resueltos de como estudiar la diferenciabilidad de una función de varias variables:
