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Convergencia Divergencia Integrales Impropias

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Aquí os dejo los vídeo con un curso sobre convergencia y divergencia de integrales impropias

Separar y clasificar integrales impropias: ver Video

Primero hay que estudiar la continuidad de la función y mirar si tiene algún intervalo al infinito, y separar la integral para poder estudiar cada tipo de discontinuidad o intervalo al infinito por separado.

Si la función es continua y acotada es convergente y ya hemos acabado.

Si la función no es continua y acotada seguiremos su estudio.

En el caso de que sean integrales de primera especie (intervalo a infinito), antes de mirar ningún criterio de convergencia tendremos que hacer el límite al infinito.

condicion necesaria de convergencia

A partir de aquí ya podemos aplicar criterios de convergencia.

Criterios de Convergencia Integral p: ver Video

Este es el criterio de convergencia que se utiliza más, aunque no tengamos funciones tan sencillas en la mayoría de los casos compararemos con una función del tipo 1/x^p ..

criterio de convergencia p

Lo mejor es aprenderse el de primera especie y recordar que el segunda especie va al revés.

Haremos los siguientes ejemplos:

ejercicios resueltos de convergencia de integrales

Una vez conocemos el criterio de convergencia de las funciones del tipo 1/x^p , ya podemos empezar a comparar funciones.

Hay dos maneras de compara funciones: comparación directa o con el límite (funciones con el mismo caracter).

Comparación directa de integrales impropias: ver Video

Intentaremos encontrar funciones que sean mayores o menores que las que tenemos.

criterio de comparacion directa

Haremos los siguientes ejemplos:

Comparación mediante el límite de integrales impropias: ver Video

Intentaremos encontrar funciones que tengan el mismo carácter que la que tenemos. Una función con el mismo carácter es un función que se comporta de la misma manera que otra donde la estamos estudiando.

Si no podemos encontrar una función con el mismo carácter, buscaremos funciones que sean mayores o menores.

Podremos comprobar que hemos escogido la función correcta, haciendo el límite de una función entre la otra.

comparacion de funciones mediante el limite

haremos los siguientes ejemplos:

ejercicios resueltos de convergencia de integrales impropias

A partir de aquí, veremos como estudiar la convergencia de algunas funciones: senos y cosenos, exponencial y logaritmos.

Criterio de la Convergencia Absoluta (Senos y Cosenos): ver Video

Cuando aparecen senos y cosenos en integrales convergentes al infinito (1a especie), a veces es imposible encontrar una función que tenga el mismo carácter (que se comporte de la misma manera). Tendremos que recurrir a aplicar el criterio de la convergencia absoluta:

Criterio de la convergencia absoluta

Haremos 3 ejercicios resueltos:

ejercicios resueltos de convergencia absoluta

Criterio de Convergencia del número e (Función Gamma)(Exponencial): ver Video

Cuando aparece la función exponencial (número e), gracias a la función Gamma, podemos comparar la función con una función del tipo 1/x^n .

Convergencia de integrales funcion gamma

No hace falta que nos aprendamos cuando converge la función Gamma. Haremos el siguiente ejemplo de integral de tercera especie.

convergencia de integrales numero e

Convergencia de integrales impropias Logaritmos: ver Video

Podemos estudiar la convergencia de una integral impropia cuando aparecen logaritmos neperianios de varias maneras. En el vídeo usamos dos:

  • Cambio de variable
  • Comparando el logaritmo con su recta tangente en x=1
métodos para saber si una integral es convergente con logaritmos

Haremos los siguientes ejercicios resueltos:

ejercicios resueltos de convergencia de integrales con logaritmos

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Límites de Funciones de Varias Variables

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Límites de Funciones de Varias Variables

El límite es único y puede NO existir.

Podemos calcular el límite de funciones de varias variables con diferentes métodos. Algunos sirven para calcular el límite y otros sólo para saber si No existe o el valor en el caso de existir.

Límites directos y con 2 tipos de factorización: Video con 4 ejemplos

Con los límites directos (sustituyendo el valor) SI vale para calcular el valor del límite.

En el vídeo haremos 3 ejemplos de límites directos:

límites directos de funciones de varias variables ejercicios resueltos

Y 2 ejemplos de límites por factorización:

límites por factorización ejercicios resueltos funciones de varias variables

Límites iterados o reiterados: Video con ejemplos

Los limites iterados o reiterados NO sirven para calcular el límite. Nos podemos encontrar dos casos:

  • Si al calcular los límites iterados nos dan valores diferentes, entonces el límite NO existe.
  • Si al calcular los límites iterados nos dan el mismo valor, NO puedo asegurar que el límite existe pero si que valor tiene si existiese.

En el vídeo haremos 2 ejemplos:

límites iterados ejercicios resueltos

Límites direccionales o por trayectorias: Ver Video con ejemplos

Los limites direccionales o límites por trayectorias o límites por cambio de variable, NO sirven para calcular el límite. Como pasaba con los iterados nos encontraremos 2 casos:

  • Si al calcular varios límites en varias direcciones alguno nos dan un valor diferente, entonces el límite NO existe.
  • Si al calcular varios límites en varias direcciones todos nos dan el mismo valor, NO puedo asegurar que el límite existe pero si que valor tiene si existiese.

En el vídeo haremos los siguientes ejemplos:

límites direccionales ejercicios resueltos

Límites por cambio a Coordenadas Polares: explicación y 4 ejemplos

Los límites por cambio a coordenadas polares SI sirven para calcular el límite.

El cambio a coordenadas polares, consiste en hacer este cambio de variable:

El límite NO existirá si el resultado depende del ángulo.

En el vídeo haremos los siguientes ejemplos:

límites por cambio a coordenadas polares ejercicios resueltos

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Continuidad y Diferenciabilidad de Funciones de Varias Variables

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Continuidad y Diferenciabilidad de Funciones de Varias Variables

Para estudiar la diferenciabilidad de una función de varias variables en un punto, primero tendremos que estudiar su continuidad:

continuidad de una funcion de varias variables

Si una función NO es continua en el punto, NO es diferenciable.

Si una función es continua en el punto, seguiremos estudiando la diferenciablidad.

Tenemos 2 maneras para estudiar la diferenciabilidad de una función en un punto.

Condición suficiente pero no necesaria de diferenciabilidad:

condicion suficiente pero no necesaria de diferenciabilidad

Si las derivadas parciales en el punto, existen y son continuas, la función es diferenciable en el punto.

Si las derivadas parciales en el punto, no existen o existen pero no son continuas, podemos seguir estudiando la diferenciabilidad. Todavía no descartamos que sea diferenciable.

Condición necesaria de diferenciabilidad:

condicion necesaria de diferenciabilidad

Si el límite es igual a cero, la función es diferenciable.

Si el límite NO es igual a cero, la función NO es diferenciable.

Para estudiar la diferenciabilidad de varias variables podemos seguir este esquema:

diferenciabilidad de una funcion de varias variables

Aquí dejo los enlaces a dos ejercicios resueltos de como estudiar la diferenciabilidad de una función de varias variables:

Diferenciabilidad de funciones de varias variables: ver vídeo ejemplo 1

Estudiaremos la continuidad y diferenciabilidad de esta función:

diferenciabilidad de finciones de varias variables ejercicio resuelto

Continiudad y diferenciabilidad funció de varias variables: ver vídeo ejemplo 2

Estudiaremos la continuidad, existencia y continuidad de las derivadas parciales y diferenciabilidad de esta función:

continuidad y diferenciablidad funcion de varias variables

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Encontrar la Ecuación Diferencial a Partir de la Solución

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Encontrar la Ecuación Diferencial a Partir de la Solución

Si tenemos una solución general podemos encontrar la ecuación diferencial que tiene esa solución. Haremos este ejemplo con dos métodos:

encontrar la ecuacion diferencial cuya solucion general es

Existen múltiples métodos os dejo los vídeos de 2 de ellos:

Hallar la Ecuación diferencial cuya solución general es (por reducción) Ver video

El método de reducción sólo lo podemos aplica cuando tenemos las constantes separadas en diferentes términos.

Encontrar la Ecuación diferencial dada la solución por eliminación de la constantes Ver vídeo

El método de eliminación general es el método general, sirve para cualquier forma de la solución.

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Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler

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Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler Homogéneas

Las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler son de la forma:

Ecuacion diferencial de Cauchy Euler

El exponente de las x tiene que ser del mismo oren que la derivada de la y que acompaña.

Pueden ser homogéneas y NO homogéneas.

En la ecuaciones diferenciales de Cauchy Euler, la solución de la ecuación homogénea asociada es de la forma:

solucion de una ecuacion diferencial de Cauchy Euler

Para encontrar el valor de la r, sustituiremos la solución en la ecuación diferencial. Nos podemos encontrar con 3 casos:

casos de soluciones de ecuciones diferenciales de Cauchy Euler

Os dejo un vídeo con un ejercicio resuelto de cada caso:

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler soluciones reales simples

ecuaciones diferenciales de cauchy Euler soluciones reales simples

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler soluciones reales múltiples

ejercicio resuelto de ecuacion diferencial de Cauchy Euler soluciones reales múltiples

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler raices complejas

ecuacion diferencial de Cauchy Euler raices complejas

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler por Reducción de Orden

El método de reducción de orden lo podemos aplicar cuando ya conocemos una solución y queremos encontrar la segunda. Consiste en suponer que la segunda solución es la misma que la primera, pero en vez de estar multiplicada por una constante, está multiplicada por una función de x que llamamos u.

segunda solucion en cauchy Euler por reducción de orden

Con este método veremos por aparecen logaritmos cuando la solución es múltiple (está repetida).

Os dejo un vídeo con un ejercicio resuelto, volveremos a hacer el Caso 2 donde teníamos una solución real repetida:

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler por Reducción de Orden

ejercicio resuelto de ecuacion diferencial de Cauchy Euler por reducción de orden

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler NO Homogéneas

Para resolver una ecuación diferencial de Cauchy Euler NO homogéneas tenemos varios métodos.

Método de Variación de los Parámetros o Variación de las Constantes

El método de variación de los parámetros o variación de las constantes es el método general, sirve para encontrar la solución particular para cualquier forma de la función que sólo depende de x en ecuación diferencial (b(x)). Lo podemos usar en las de coeficientes constantes y también en Cauchy Euler.

Ecuacion diferencial de Cauchy Euler

La solución general de una ecuación diferencial NO homogénea, es la solución de la ecuación homogénea asociada, mas una solución particular.

solucion general de una ecuacion diferencial no homogénea

El método de variación de las constantes o parámetros, sirve para encontrar la solución particular y es el método general, porque sirve para cualquier forma de la función que sólo depende de x (b(x)).

ALERTA: Para aplicar el método de variación de las constantes o parámetros, la y de mayor derivada tiene que estar multiplicada por 1. Tendremos que dividir toda la ecuación diferencial.

Consiste en suponer que la solución particular es la misma que la solución de la homogénea, pero las soluciones en vez de estar multiplicadas por constantes, estarán multiplicadas por funciones de x (que llamaremos u).

solucion particular por el metodo de variacion de los parametros

Para encontrar esas funciones tenemos montar un sistema de ecuaciones, con las soluciones de la homogéneas y las us derivadas:

sistema de ecuaciones metodo de variacion de parametros

Para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar la us derivadas podemos aplicar el método de Cramer, pero no es obligatorio, se puede resolver despejando las us.

Si lo resolvemos por Cramer:

resolucion por el metodo de Cramer

Para encontra las us sin derivar sólo hay que integrar:

encontrar la funciones sin derivar

ALERTA: Una vez encontrada la solución particular hay que tener en cuenta que tiene que ser linealmente independiente de la solución de la homogénea.

Os dejo un video con un ejercicio resuelto:

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler no homogéneas variación de parámetros

ecuaciones diferenciales de Cauchy Euler por variación de parámetros o constantes

Convertir Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler a Coeficientes Constantes (por sustitución)

Haremos un cambio de variable para convertir la ecuación diferencial de Cauchy Euler en una de coeficientes Constantes.

El cambio de variable que tenemos que hacer es con el número e:

cambio de variable de Cauchy Euler a Coeficientes Constantes

Os dejo un vídeo con ejercicio resuelto con este método:

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler a Coeficientes Constantes

ejercicio resuelto de Cauchy Euler a Coeficientes Constantes

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Método de Variación de los Parámetros o Variación de las Constantes

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Método de Variación de los Parámetros o Variación de las Constantes (Ecuaciones Diferenciales)

El método de variación de los parámetros o variación de las constantes es el método general, sirve para encontrar la solución particular para cualquier forma de la función que sólo depende de x en ecuación diferencial (b(x)).

ecuacion diferencial lineal de coeficentes constantes no homogenea

La solución general de una ecuación diferencial NO homogénea, es la solución de la ecuación homogénea asociada, mas una solución particular.

solucion general de una ecuacion diferencial no homogénea

El método de variación de las constantes o parámetros, sirve para encontrar la solución particular y es el método general, porque sirve para cualquier forma de la función que sólo depende de x (b(x)).

ALERTA: Para aplicar el método de variación de las constantes o parámetros, la y de mayor derivada tiene que estar multiplicada por 1.

Consiste en suponer que la solución particular es la misma que la solución de la homogénea, pero las soluciones en vez de estar multiplicadas por constantes, estarán multiplicadas por funciones de x (que llamaremos u).

solucion particular por el metodo de variacion de los parametros

Para encontrar esas funciones tenemos montar un sistema de ecuaciones, con las soluciones de la homogéneas y las us derivadas:

sistema de ecuaciones metodo de variacion de parametros

Para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar la us derivadas podemos aplicar el método de Cramer, pero no es obligatorio, se puede resolver despejando las us.

Si lo resolvemos por Cramer:

resolucion por el metodo de Cramer

Para encontra las us sin derivar sólo hay que integrar:

encontrar la funciones sin derivar

ALERTA: Una vez encontrada la solución particular hay que tener en cuenta que tiene que ser linealmente independiente de la solución de la homogénea.

Os dejo los videos con varios ejemplos de segundo y tercer orden:

Método de Variación de parámetros ecuaciones diferenciales ejercicio resuelto

Ejercicio resuelto por el metodo de variacion de los parametros

Variación de Constantes ecuaciones diferenciales ejercicio resuelto

ejercicio resuelto por el metodo de variacion de las constantes

Ecuaciones diferenciales variación de Parámetros orden 3 ejercicio resuelto

ejercicio resuelto metodo de variacion de parametros orden 3

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Método de los Coeficientes Indeterminados

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Método de los Coeficientes Indeterminados para ecuaciones diferenciales

La solución de una ecuación diferencial NO homogénea es la solución de la ecuación homogénea asociada mas una solución particular.

solucion general de una ecuacion diferencial no homogenea

El método de los coeficientes indeterminados sirve para encontrar la solución particular, pero sólo lo podemos aplicar cuando tenemos 3 tipos de funciones en el término que solamente tiene x de la ecuación diferencial.

Consiste en suponer que la solución particular va a ser igual que el término que sólo tiene x de la ecuación diferencial. Pero hay que tener en cuenta que la solución particular tiene que ser linealmente independiente de la solución de la homogénea, es decir que la particular no se puede repetir.

metodo de los coeficientes indeterminados

Método Coeficientes Indeterminados (explicación completa): Ver vídeo

En este vídeo vamos a ver:

  • Como se aplica el método de los coeficientes indeterminados
  • Cuando se aplica
  • Como encontrar la solución particular
  • Qué hacer cuando la solución particular se repite en la homogénea
  • Ejercicio resuelto
ejercicio resuelto por el metodo de los coeficientes indeterminados

Ejercicio 2 – Método de los coeficientes indeterminados ecuaciones diferenciales: Ver vídeo

ejercicio resuelto por el metodo de los coeficientes indeterminados

Ejercicio 3 – Coeficientes indeterminados ecuaciones diferenciales: Ver vídeo

ejemplo del metodo de los coeficientes indeterminados ecuaciones diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes

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Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes:

Nos encontraremos con 4 casos diferentes.

Primero tendremos que resolver el polinomio característico asociado a la ecuación diferencial.

Según si las raíces del polinomio son reales o complejas, simples ó múltiples, la solución nos la da la siguiente tabla:

solucion de una ecuacion diferencial lineal de coeficientes constantes

Podemos reescribir esa tabla diferenciando los 4 casos posibles:

solucion de una ecuacion diferencial lineal de coeficientes constantes

Se entiende mucho mejor viendo los ejemplos.

Coeficientes Constantes (Raíces Reales): Ver vídeo

ejercicio resuelto de ecuacion diferencial lineal de coeficientes constantes con raices reales simples

Coeficientes Constantes (Raíces Reales Múltiples): Vídeo ejemplo

ejercicio resuelto de ecucion diferencial lineal de coeficientes constantes raices reales multiples

Coeficientes Constantes (Raíces Reales Simples y Múltiples): Ver Video

ejercicio resuelto de ecuacion diferencial lineal de coeficientes constantes raices reales imples y multiples

Coeficientes Constantes (Raíces Complejas): Ver vídeo

ejercicio resuelto de ecuacion diferencial lineal con coeficientes constantes raices complejas

Para las raíces complejas tendremos que aplicar las Fórmulas de Euler:

formulas de Euler

Coeficientes Constantes (Raíces reales y Complejas): Ver vídeo

ejercicio resuelto de ecuacion diferencial lineal con coeficientes constantes raices reales y complejas

Coeficientes Constantes (Raíces Complejas Múltiples): Ver vídeo

ejercicio resuelto de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes con raices complejas multiples

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Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

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Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes

Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior tienen las ys separadas en cada término, sin estar dentro de ninguna función. A demás son de coeficientes constantes si están multiplicadas por constantes. Y son homogéneas si no tenemos ningún término sólo con xs o constantes. Clica en el enlace superior para ver como se resuelven.

ecuaciones diferenciales lineales con coeficnientes constantes

Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Constantes NO Homogéneas

Cuando tenemos un término sólo con funciones de x o constantes ya es NO homogénea.

ecuacion diferencial lineal de coeficientes constantes no homogenea

Cuando tenemos una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes pero NO homogénea, podemos usar dos métodos para resolverlas:

  • Método de los Coeficientes Indeterminados (sólo para algunos formas)
  • Método de variación de los Parámetros o variación de las Constantes (método general)

Método de los Coeficientes Indeterminados Ecuaciones Diferenciales

Método de variación de los Parámetros o Variación de las Constantes Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler

Ecuacion diferencial de Cauchy Euler

Las ecuaciones diferenciales de Cauchy Euler pueden ser homogéneas y no homogéneas.

Encontrar la Ecuación Diferencial a partir de su solución general

Si tenemos una solución general, podemos encontrar la ecuación diferencial que tiene esa solución.

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Ecuaciones Diferenciales NO Exactas por Factor Integrante

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Ecuaciones Diferenciales No exactas por Factor Integrante

Cuando una ecuación diferencial no nos da exacta:

Tendremos que intentar convertirla en exacta buscando un factor integrante. El factor integrante es una función que al multiplicar toda la ecuación diferencial la convierte en exacta.

Factor integrante

Para encontrar el factor integrante hay que ir probando caso por caso.

(Caso 1) Factor integrante en función de x: Ver Vídeo

factor integrante que sólo depende de x

(Caso 2) Factor integrante en función de y: Ver Vídeo

Si no hemos podido encontrar un factor integrante que sólo depende de x, tenemos que ir a buscar el factor integarnte que sólo depende de y.

Factor intgrante que sólo depende de y
Ejemplo de factor integrante que sólo depende de y

(Caso 3) Factor integrante x^my^n: Ver Vídeo

Si no hemos podido encontrar ni el factor integrante que depende de x, ni el que depende de y, seguimos probando. Buscaremos un factor integrante del tipo x^my^n.

Factor integrante xy
Ejercicio resuelto de factor integrante xy

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