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Ejercicios resueltos de Integrales Dobles y triples sobre regiones generales

INTEGRALES DOBLES sobre Rectángulos, Teorema de FUBINI

Haremos un ejercicio de como hacer la integral de una función sobre un rectángulo, o lo que es lo mismo aplicaremos el Teorema de Fubini, para hacer una integral sobre un rectángulo. Haremos el siguiente ejercicio:

y aplicaremos el Teorema de Fubini:

INTEGRALES DOBLES sobre Regiones generales, Tipo I y Tipo II

En el video veremos cómo resolver integrales dobles sobre regiones generales de tipo I y tipo II. Hay una breve explicación de que son las integrales dobles sobre una región y el siguiente ejercicio resuelto:

Ejercicio resuelto de integral doble sobre regiones generales

Ejercicio resuelto de INTEGRALES DOBLES sobre Regiones generales (Valor absoluto)

En el video haremos otro ejercicio de integrales dobles sobre regiones generales de tipo I y tipo II. En el área sobre la que tenemos que integrar aparece un valor absoluto:

Ejercicio resuelto de integral doble sobre un área con valor absoluto

Cambiar el Orden de Integración – Ejemplo 1

En el video veremos cómo cambiar el orden de integración de una integral doble, el ejemplo será:

ejercicio resuelto de como cambiar el orden de integracion

Cambiar el Orden de Integración – Ejemplo 2

Haremos un segundo ejemplo de cómo cambiar el orden de integración de una integral doble, el ejemplo será:

Integral triple – Tetraedro

En el video haremos la primera integral triple, paso a paso. Tendremos que integral la función sobre un volumen. El volumen será el formado entre 4 planos que resultará ser un tetraedro:

Como calcular el área de una región entre funciones con integrales dobles

Utilizaremos las integrales dobles para calcular el área entre funciones. La haremos de tipo I y tipo II para practicar.

como calcular el area con integrales dobles

Cambio de variable en integrales múltiples

Haremos un ejercicio resuelto de como hacer un cambio de variable en integrales dobles. Haremos el ejemplo:

ejercicio resuelto de cambio de variable en integrales dobles

Cuando hacemos un cambio de variable hay que recordar multiplicar por el Jacobiano:

Antes de empezar con el tema de cambio a coordenadas y parametrizaciones, os dejo un pdf con las figuras o curvas habituales y sus parametrizaciones:

Parametrizaciones Descarga

Integrales Dobles en Coordenadas Polares (Desde Cero)

Haremos un primer ejercicio resuelto de como hacer una integral doble con un cambio de variable a coordenadas polares:

ejercicio resuelto de integral doble cambio a coordenadas polares

La integral será más sencilla si hacemos el cambio a coordenadas polares:

Área en Coordenadas Polares Límites de Integración

En este ejercicio resuelto de área con coordenadas polares, veremos cómo encontrar los límites de integración cuando no se ven a simple vista. La idea es aprender a intersecar curvas para encontrar los límites de integración usando coordenadas polares. En este ejemplo calcularemos dos áreas diferentes para practicar:

coordenadas polares limites de integracion

(Estamos ampliando el tema)

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Ejercicios resueltos enviados por alumnos

junio 4, 2025junio 17, 2025 profeindahouse

CONVERGENCIA DE INTEGRALES:

Plano tangente de una función paralelo a otro plano:

convolución, matemáticas universidad, Series y Transformada Fourier

Convolución

enero 28, 2025 profeindahouse

En el siguiente vídeo veremos como hacer la integral de convolución con el método gráfico desde cero. Calcularemos el producto de convolución de dos funciones sumando áreas, sin calcular la integral.

integral de la convolucion de dos señales

Para calcular la convolución mediante la gráfica tendremos que dibujar las dos funciones, pero la segunda función habrá que modificarla antes (reflexión + desplazamiento).

Convolución por el método grafico desde cero: ver Video

Haremos dos ejercicios resueltos. En el primero calcularemos la integral de convolución de una rampa por un pulso rectangular en 3 instantes de tiempo:

En el segundo ejercicio calcularemos la convolución gráficamente para cualquier tiempo.

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Serie de Fourier Compleja, Series y Transformada Fourier, Uncategorized

Serie Compleja de Fourier

enero 20, 2025enero 20, 2025 profeindahouse

Veremos varios vídeos de como calcular la serie compleja de Fourier y de como calcular los coeficientes de la serie trigonométrica (an, bn) a partir del coeficiente de la serie compleja Cn .

Ejercicio resuelto de Serie de Fourier Compleja: ver Video

Calcularemos la serie de Fourier Compleja, mediante las fórmulas:

Tendremos seleccionar bien el periodo y los intervalos de integración. Mirar si hace falta calcular Co aparte y simplificar.

Haremos el ejemplo:

Calcula la Serie de Fourier Compleja Extendida Periódicamente: ver Video

En el vídeo haremos otro ejercicio resuelto de serie de Fourier Compleja:

ejercicio resuelto de serie de fourier compleja exponencial

(Bloque en proceso)

matemáticas universidad, Series y Transformada Fourier

Series y Transformada de Fourier

enero 20, 2025enero 28, 2025 profeindahouse

Aquí encontrareis videos con ejercicios resueltos de Serie Compleja de Fourier y Transformada de Fourier.

Serie de Fourier Compleja:

Encontrareis ejercicios resueltos calculando serie de Fourier compleja y encontrar los coeficientes de la serie trigonométrica a apartir de la serie compleja.

Transformada de Fourier:

Encontrareis ejercicios resueltos de transformadas de Fourier con la definición y mediante propiedades.

Convolución:

Encontrareis ejercicios resueltos de como clacular la convolución de dos funciones mediante la gráfica, sin calcular la integral de convolución.

Series y Transformada Fourier, Transformada de Fourier, Uncategorized

Transformada de Fourier

noviembre 26, 2024enero 20, 2025 profeindahouse

Aquí encontrareis vídeos con ejercicios resueltos de transformadas de Fourier y aplicación de las propiedades de la transformada de Fourier.

Aquí tenéis un documento pdf con las transformadas de Fourier y propiedades más habituales, que os podeis descargar:

Tabla Transformada de Fourier y propiedades Descarga

Transformada de Fourier por la definición (Número e): ver Video

Haremos la transformada de Fourier usando la definición, con la integral. Como tenemos un valor absoluto, separaremos la función en dos con una función definida a trozos. Además al final del video, veremos como es la transformada de Fourier de una función real de simetría par.

transformada de Fourier por la definicion

Haremos el siguiente ejemplo:

ejercicio resuelto de transformada de fourier por la definicion

Transformada de Fourier de un pulso rectangular por la definición : ver Video

Haremos la transformada de Fourier de un pulso rectangular usando la definición, con la integral. Como tenemos una función definida a trozos, tendremos que separar la integral. Además tendremos que simplificar el resultado usando las fórmulas de Euler del coseno y el seno.

Haremos el siguiente ejemplo:

Transformada de Fourier mediante Propiedades

Transformada de Fourier propiedades traslación en el tiempo: ver Video

Haremos la transformada de Fourier de un pulso rectangular desplazado en el tiempo mediante la propiedad de traslación en el tiempo.

Haremos el siguiente ejercicio resuelto:

ejercicio resuelto de transformada de Fourier propiedad traslacion en el tiempo

y utilizaremos la propiedad de traslación en el tiempo:

transformada de Fourier propiedad de traslacion en el tiempo

Ejercicio resuelto de transformada de Fourier propiedad modulación: ver Video

Haremos un ejercicio resuelto de transformada de Fourier mediante la propiedad de modulación. Es decir cuando tengamos una función multiplicada por un coseno, podremos usar esta propiedad de la transformada de Fourier.

Haremos el siguiente ejercicio. Se trata de un pulso rectangular por un coseno:

ejercicio resuelto de transformada de Fourier con la propiedad de modulacio

usaremos la propiedad de modulación:

transformada de Fourier propiedad de modulacio

propiedades de la transformada de fourier ejercicios resueltos dualidad: ver Video

Haremos un ejercicio resuelto de transformada de Fourier mediante la propiedad de dualidad o simetría. Cuando tengamos una función en t que se parezca a una transformada, utilizaremos esta propiedad.

Haremos el siguiente ejemplo:

ejercicio resuelto de transformada de Fourier con la propiedad de dualidad o simetria

utilizaremos la propiedad de dualidad o simetría:

transformada de Fourier propiedad de dualidad o simetria

transformada de Fourier usando la propiedad de la derivada: ver Video

Haremos un ejemplo de transformada de Fourier mediante la propiedad de derivación en el tiempo, es decir mediante la derivada. Utilizaremos esta propiedad cuando hacer la transformada de Fourier de la derivada, sea más fácil que hacer la transformada de la propia función. También cuando nos pidan hacer la transformada a partir de la gráfica de la función.

Haremos el siguiente ejemplo:

ejercicio resuelto de transformada de Fourier con la propiedad de derivacion

Transformada de Fourier usando las propiedades de la Segunda Derivada: ver Video

Haremos otro ejemplo de transformada de Fourier mediante la propiedad de derivación en el tiempo, pero usaremos el de la segunda derivada. Al derivar nos aparecerán impulsos.

Haremos el siguiente ejercicio:

ejercicio resuelto de transformada de Fourier con la propiedad de la segunda derivada

Utilizaremos la propiedad de la primera derivada y de la segunda derivada:

transformada de Fourier propiedad de derivacion en el tiempo

Transformada de Fourier Propiedades Derivación en Frecuencia Cambio Escala: ver Video

Haremos otro ejemplo de transformada de Fourier y tendremos que utilizar dos propiedades: la propiedad de derivación en frecuencia i la propiedad de cambio de escala.

Haremos el siguiente ejercicio:

ejercicio resuelto de transformada de Fourier con la propiedad de derivacion en frecuencia

utilizaremos las propiedades de derivación en frecuencia y cambio descala:

transformada de Fourier propiedad de derivacion en frecuancia

(Tema en proceso)

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funciones de varias variables, matemáticas universidad, teorema de la función implícita varias variables, Uncategorized

Teorema de la Función Implícita Varias variables

noviembre 7, 2024noviembre 7, 2024 profeindahouse

Haremos dos ejercicios resueltos de como se aplica el Teorema de la Función Implícita para:

una función de varias variables
sistemas de ecuaciones o función vectorial

El Teorema de la Función Implícita para varias variables nos dice:

teorema de la función implicita varias variables

Haremos el siguiente ejemplo donde aplicaremos el teorema de función implícita y encontraremos la derivada de la variable definida implícitamente (la z).

Teorema de la función Implícita Varias Variables ver video

ejercicio resuelto de teorema de la funcion implicita varias variables

El Teorema de la Función Implícita si tenemos un sistema de ecuaciones o una función vectorial, nos dice:

teorema de la funcion implicita para un sistema de ecuaciones

Haremos el siguiente ejemplo y encontraremos las derivadas parciales con 3 métodos: con la fórmula, derivando implícitamente y con la regla de la cadena:

Teorema de la función Implícita para un Sistema de Ecuaciones ver video

ejercicio resuelto de teorema de la funcion implicita para sistemas de ecuaciones

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funciones de varias variables, matemáticas universidad, máximos y mínimos varias variables, multiplicadores de Lagrange, Uncategorized

Maximos y Mínimos varias variables

noviembre 7, 2024noviembre 7, 2024 profeindahouse

Máximos relativos, mínimos relativos y Puntos de Silla

Buscaremos:

máximos relativos, mínimos relativos y puntos de silla de 2 variables
máximos relativos, mínimos relativos y puntos de silla de 3 variables
máximos y mínimos restringidos en un entorno = máximos y mínimos absolutos de varias variables con 2 métodos:
- Método de los Multiplicadores de Lagrange
- Directamente trabajando sobre la región

Máximos relativos, mínimos relativos y Puntos de Silla (desde cero) ver Video

Para encontrar los puntos críticos (es decir máximos y mínimos relativos y puntos de silla) podemos seguir el siguiente esquema (2 variables):

criterios para encontrar maximos minimos y puntos de silla

En el video veremos el siguiente ejemplo:

ejercicio resuelto de maximos relativos minimos relativos y puntos de silla

Máximos relativos, mínimos relativos y Puntos de Silla de 3 Variables ver Video

Para encontrar los puntos críticos de una función de 3 variables, podemos seguir el siguiente esquema:

En el vídeo haremos el siguiente ejemplo:

ejercicio resuelto de maximos y minimos de una funcion de tres variables

Extremos absolutos condicionados a una restricción:

Si nos dan una función restringida dentro de un entorno, además de calcular los máximos, mínimos relativos y puntos de silla de dentro del recinto, también tendremos que encontrar los máximos y mínimos sobre la restricción. Podemos hacerlo de 2 maneras: con los Multiplicadores de Lagrange o directamente sobre la restricción.

como encontrar extremos absolutos condicionados

Multiplicadores de Lagrange

Máximos y Mínimos restringidos por Multiplicadores de Lagrange: ver Video

Haremos el siguiente ejercicio resuelto, mediante el método de los Multiplicadores de Lagrange:

ejercicio resuelto de multiplicadores de Lagrange

Extremos Absolutos de una función de dos variables (Extremos Condicionados) ver Video

Haremos el siguiente ejercicio resuelto:

ejercicio resuelto de estremos condicionados de varias variables

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matemáticas bachillerato, numeros complejos, operaciones con números complejos, Uncategorized

Números Complejos

noviembre 4, 2024noviembre 8, 2024 profeindahouse

Aquí encontrareis vídeos con ejercicios resueltos con números complejos.

Qué son los Números Complejos: ver Video

Veremos que es la unidad imaginaria, qué es el conjugado de un número complejo, que es la forma binómica, la forma polar y la forma exponencial, y como representar gráficamenteun número complejo.

forma binomica, forma polar, forma exponencial

Suma y Resta de Números Complejos en forma binómica: ver Video

haremos los siguientes ejemplos:

suma y resta de numeros complejos en forma binomica

El último ejemplo nos servirá para saber como escribir correctamente la solución.

Multiplicación de Números Complejos en forma binómica: ver Video

Para hacer el producto de números complejos en forma binómica, tendremos que multiplicar todos los términos como cuando multiplicamos polinomios.

Haremos el siguientes ejemplo:

multiplicar numeros complejos en forma binomica

y multiplicaremos un número por su conjugado, porque al dividir números complejos lo tendremos que hacer:

multiplicar un número complejo por su conjugado

Dividir Números Complejos en forma binómica: ver Video

Para dividir números complejos en forma binómica, tendremos que multiplicar por el conjugado del denominador.

Haremos el siguientes ejemplo:

dividir numeros complejos en forma binomica

Como calcular potencias de i: ver Video

Calcularemos fácilmente potencias i, es decir i elevado a un número grande. Sólo tendremos que conocer las cuatro primeras potencias de i.

Haremos el siguientes ejemplo i calcularemos también potencias negativas de i:

Como pasar de forma binómica a forma exponencial: ver Video

Pasaremos números complejos de forma binómica a forma exponencial. Para pasar de binómica a exponencial necesitamos calcular el módulo y el argumento (o ángulo) del número complejo. Haremos varios ejercicios resueltos, en algunos podremos encontrar el ángulo si hacer cálculos.

Pasaremos de binómica a exponencial los siguientes números. En los ejemplos pasaremos un número real a exponencial y un número con sólo parte imaginaria:

ejercicios resueltos de pasar de forma binomica a exponencial

Como pasar de forma exponencial a forma binómica: ver Video

Pasaremos números complejos de forma exponencial a forma binómica. Para pasar de exponencial a binómica o algebraica, necesitamos calcular el coseno y seno del ángulo del número complejo.

numeros complejos pasar de forma exponencial a binomica

Haremos 4 ejercicios resueltos.

ejercicios resueltos de pasar de forma exponencial a forma binomica

Más videos en los próximos días.

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convergencia de integrales impropias, matemáticas universidad

Convergencia Divergencia Integrales Impropias

mayo 14, 2024noviembre 7, 2024 profeindahouse

Aquí os dejo los vídeo con un curso sobre convergencia y divergencia de integrales impropias

Separar y clasificar integrales impropias: ver Video

Primero hay que estudiar la continuidad de la función y mirar si tiene algún intervalo al infinito, y separar la integral para poder estudiar cada tipo de discontinuidad o intervalo al infinito por separado.

Si la función es continua y acotada es convergente y ya hemos acabado.

Si la función no es continua y acotada seguiremos su estudio.

En el caso de que sean integrales de primera especie (intervalo a infinito), antes de mirar ningún criterio de convergencia tendremos que hacer el límite al infinito.

A partir de aquí ya podemos aplicar criterios de convergencia.

Criterios de Convergencia Integral p: ver Video

Este es el criterio de convergencia que se utiliza más, aunque no tengamos funciones tan sencillas en la mayoría de los casos compararemos con una función del tipo 1/x^p ..

Lo mejor es aprenderse el de primera especie y recordar que el segunda especie va al revés.

Haremos los siguientes ejemplos:

ejercicios resueltos de convergencia de integrales

Una vez conocemos el criterio de convergencia de las funciones del tipo 1/x^p , ya podemos empezar a comparar funciones.

Hay dos maneras de compara funciones: comparación directa o con el límite (funciones con el mismo caracter).

Comparación directa de integrales impropias: ver Video

Intentaremos encontrar funciones que sean mayores o menores que las que tenemos.

Haremos los siguientes ejemplos:

Comparación mediante el límite de integrales impropias: ver Video

Intentaremos encontrar funciones que tengan el mismo carácter que la que tenemos. Una función con el mismo carácter es un función que se comporta de la misma manera que otra donde la estamos estudiando.

Si no podemos encontrar una función con el mismo carácter, buscaremos funciones que sean mayores o menores.

Podremos comprobar que hemos escogido la función correcta, haciendo el límite de una función entre la otra.

comparacion de funciones mediante el limite

haremos los siguientes ejemplos:

ejercicios resueltos de convergencia de integrales impropias

A partir de aquí, veremos como estudiar la convergencia de algunas funciones: senos y cosenos, exponencial y logaritmos.

Criterio de la Convergencia Absoluta (Senos y Cosenos): ver Video

Cuando aparecen senos y cosenos en integrales convergentes al infinito (1a especie), a veces es imposible encontrar una función que tenga el mismo carácter (que se comporte de la misma manera). Tendremos que recurrir a aplicar el criterio de la convergencia absoluta: